磁性器件学习笔记（三）

第一篇笔记讲解了磁性器件中的电感，这一篇来讲一下变压器。

理想变压器

首先考虑绕在同一个磁芯上的两绕组理想变压器，左边绕组 $N_1$ 匝，通入 $v_1,i_1$ ，右边绕组 $N_2$ 匝，通入 $v_2,i_2$ 。定义如下物理量：磁芯有效横截面积为 $A_c$ 、磁路长度为 $l_c$ 、磁导率为 $\mu_c$ 、磁芯中流动的磁通为 $\phi_c$ 。理想变压器满足这两个假设假设： $\mu_c \rightarrow +\infty$ ；磁通 $\phi_c$ 无泄漏，全部被限制在磁芯中运行。

同名端

两个绕组的方向如图所示，当通入 $i_1$ 和 $i_2$ 时，磁芯两边产生的磁通在磁芯里面是绕着同一个方向运行的，我们就把这两个通入电流的端子称为同名端，用两个小黑点标识同名端。当电流从同名端通入时，磁通沿同一个方向流动，是相互增强的。

等效磁路

上面是理想变压器的等效磁路模型。

电压关系

左边绕组的磁链为：

\lambda_1=N_1\phi_c

右边绕组的磁链为：

\lambda_2=N_2\phi_c

根据法拉第电磁感应定律：

v_1=\frac{d\lambda_1}{dt}=N1\frac{d\phi_c}{dt}，v_2=\frac{d\lambda_2}{dt}=N2\frac{d\phi_c}{dt}

两式一比就得到：

\frac{v_1}{v_2}=\frac{N_1}{N_2}

电流关系

对于上面的磁路，可以列出方程：

N_1i_1+N_2i_2=\phi_c\mathfrak {R}_c

理想变压器假设了 $\mu_c \rightarrow +\infty$ ，磁阻 $\mathfrak {R}_c=\frac{l_c}{\mu_c A_c}\rightarrow0$ 。

上面方程的右边就等于0：

N_1i_1+N_2i_2=0

就得到电流关系：

\frac{i_1}{-i_2}=\frac{N_2}{N_1}

这里的 ${-i_2}$ 意味着在右边的绕组上，电流 ${i_2}$ 实际的方向是由同名端流出( ${i_1}$ 从同名端流入时)。可以看出来，两边绕组产生的磁动势是完全相同而且正负方向也是一样的，也就意味着理想变压器中没有净磁通流动，说明理想变压器是不存储能量的，仅起到电压变换和电流变换的作用。

实际电压电流方向：

对于理想变压器，同一时刻，同名端处的电压极性相同(楞次定律分析即可)，电流从一个同名端流入，从另一个同名端流出。两端电压电流满足：

\frac{v_1}{v_2}=\frac{N_1}{N_2},\frac{i_1}{i_2}=\frac{N_2}{N_1}

非理想变压器

上面对于理想变压器的分析引入了两个假设： $\mu_c \rightarrow +\infty$ ；磁通 $\phi_c$ 无泄漏。当设计真正的变压器时，这两个假设自然是不成立的，下面分析一下考虑 $\mu_c$ 有限和存在漏磁的情况。

$\mu_c$ 有限

当 $\mu_c$ 有限时，也就意味着 $\phi_c$ 不为0。这个时候将右边的绕组闲置不接任何东西，左边的绕组加上磁芯就能看成一个电感 $L_{\mu_1}$ :

L_{\mu_1}=\frac{N_1^2}{{\mathfrak {R}}_c}

这时候的变压器模型就是这样：本来不存储任何能量的理想变压器，现在多出来一个电感 $L_{\mu_1}$ ，还在 $L_{\mu_1}$ 上多出来一个电流 $i_{\mu_1}$ 来额外推拉输入该绕组的电流。 $i_{\mu_1}$ 只起到磁化磁芯，使其内部产生磁场的作用，因此把这个电流称为励磁电流， $L_{\mu_1}$ 称为励磁电感，其中储存的能量为 $\frac{1}{2}L_{\mu_1} i^2_{\mu_1}$ 。

考虑此时 $B_{max}$ 的大小

当 $N_1$ 通入电流 $i_{\mu_1}$ 时， $L_{\mu_1}$ 磁化，在磁芯中产生主磁通 $\phi_{\mu_1}$ 。
$N_2$ 在主磁通 $\phi_{\mu_1}$ 的感应下，产生感应电动势 $v_2$ 。同时因为 $N_2$ 不再闲置，产生电流 $i_2$ 。
根据楞次定律，电流 $i_2$ 会阻碍磁通的变化。因此，电流 $i_2$ 会产生一个磁动势 $N_2i_2$ ， $N_2i_2$ 会产生一个和主磁通方向相反的磁通，去试图削弱主磁通 $\phi_{\mu_1}$ 。这个磁通称为去磁磁通。
假如主磁通真的被削弱了，会导致 $N_1$ 绕组上的感应电动势减小。但感应电动势和 $v_1$ 等值方向相反，而 $v_1$ 是定值。因此主磁通 $\phi_{\mu_1}$ 不能被削弱。
主磁通 $\phi_{\mu_1}$ 不能被削弱， $N_1$ 绕组则会尝试吸取额外的电流 $i_1$ ，形成新的磁动势 $N_1i_1$ 。这个磁动势去尝试增加磁通，抵抗去磁磁通的削弱。最后的结果则是 $N_1i_1$ 和 $N_2i_2$ 正好抵消。
$N_1i_1$ 和 $N_2i_2$ 抵消掉之后，主磁通仍然是 $\phi_{\mu_1}$ 。

可见，最后磁芯内部的磁通取决于励磁电感 $L_{\mu_1}$ 上产生的磁通，在考虑 $B_{max}$ 限制时只需约束它产生的磁通密度即可。
$L_{\mu_1}$ 成为了变压器的限制，那是不是励磁电感就毫无用处了呢。并非如此：反激变换器使用励磁电感存储能量；LLC变压器使用励磁电流在死区内抽取MOS的Coss上的电荷，来实现ZVS。

存在漏磁

在上面的分析中， $N_1$ 和 $N_2$ 都会产生磁通，理想状态下所有的磁通都会与线圈相交链，但是实际上会有些许磁通泄露出去：等效磁路如下：漏磁通 $\phi_{e1}$ :

\phi_{e1}=\frac{N_1i_1}{\mathfrak {R}_ {e1}}

漏磁通 $\phi_{e2}$ :

\phi_{e2}=\frac{N_2i_2}{\mathfrak {R}_ {e2}}

主磁通 $\phi_{c}$ :

\phi_{c}=\frac{N_1i_1+N_2i_2}{\mathfrak {R}_ {c}}

$N_1$ 和 $N_2$ 上的磁链 $\lambda_1$ 、 $\lambda_2$ 分别为：

\lambda_1=N_1(\phi_{e1}+\phi_{c})=\frac{N_{1}^{2}}{R_{e1}}i_{1}+\frac{N_{1}^{2}}{R_{c}}i_{1}+\frac{N_{1}N_{2}}{R_{c}}i_{2}

\lambda_2=N_{2}(\phi_{e2}+\phi_{c})=\frac{N_{2}^{2}}{R_{e2}}i_{2}+\frac{N_{2}^{2}}{R_{c}}i_{2}+\frac{N_{1}N_{2}}{R_{c}}i_{1}

写成矩阵形式：

\begin{aligned} \begin{bmatrix} \int v_1dt \\ \int v_2dt \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{N_1^2}{R_{e1}}+\frac{N_1^2}{R_c} & \frac{N_1N_2}{R_c} \\ \frac{N_1N_2}{R_c} & \frac{N_2^2}{R_{e2}}+\frac{N_2^2}{R_c} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} \\ & \Rightarrow \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} L_{11} & L_M \\ L_M & L_{22} \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} \end{aligned}

等效电路模型可以画成这样： $L_{\mu1}$ 是初级励磁电感， $L_{e1}$ 是初级漏感， $L_{e2}$ 是次级漏感。
这个模型称为T-模型，有：
$L_{11}$ 描述的是变压器初级的总自感

L_{11}=L_{e1}+L_{\mu1}

$L_{22}$ 描述的是变压器次级的总自感

L_{22}=L_{e2}+(\frac{N_2}{N_1})^2L_{\mu1}

$L_{M}$ 描述的是变压器两个绕组的互感

L_{M}=\frac{N_2}{N_1}L_{\mu1}

初次级的电压：

v_1=L_{11}\frac{di_1}{dt}+L_M\frac{di_2}{dt}

v_2=L_M\frac{di_1}{dt}+L_{22}\frac{di_2}{dt}

初级电压由两部分组成：自身电流变化产生的自感电压 + 次级电流变化通过互感耦合过来的电压。
次级电压同样由两部分组成：互感耦合的电压 + 自身电流变化产生的自感电压。

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